בימים אלה, בין החגים, עומס העבודות השוטפות ועבודתי הזמנית כבובקאט אנושי להעברת עפר (אל תשאלו), הבלוג מתעדכן בתדירות נמוכה יותר – אך לא לדאוג, זה מצב זמני. בינתיים, אני חוזר לפרויקט מד האומים שלי, שמהווה לדעתי הזדמנות קלאסית להסביר את אחד מהיסודות של האלקטרוניקה השימושית – חוק אום. בפוסט זה נדבר יותר על חוק אום ופחות על הפרויקט עצמו –  הצד הפרקטי יצטרך לחכות לפוסטים הבאים.

פרויקט מד האומים יתבסס על מעגל פשוט ומפורסם בשם "מחלק מתח". בעבר כבר הזכרתי את המעגל הזה, וכעת הגיע הזמן לחקור אותו לעומק ולהבין בדיוק איך הוא עושה מה שהוא עושה, ואיך אנחנו יכולים לנצל אותו לצרכינו. כדי להבין את כל זה, אנחנו צריכים להבין קודם כל את חוק אום.

חוק אום: הסבר ראשוני

חוק אום הוא נוסחה שחוקר גרמני בשם גיאורג אום (Ohm) פיתח בשנת 1827, אחרי הרבה מדידות וניסויים. הנוסחה הזו מתארת בפשטות את הקשר בין שלושת המדדים הבסיסיים של החשמל: מתח (V), זרם (I) והתנגדות (R). הנה הצורה הפשוטה ביותר של הנוסחה:

V= IR

או, במילים: המתח שווה למכפלה של ההתנגדות בזרם. למשל, אם יש לנו מעגל עם נגד של מאה אום, וזורם במעגל הזה זרם של חצי אמפר, אז המתח הוא חמישים וולט. אבל איך זה עוזר לנו? הרי אנחנו רגילים לעבוד עם USB או לוח פיתוח שנותנים לנו מראש 5 וולט, וזה מבחינתנו קבוע.

בואו ניזכר במעגל הבסיסי להפעלת נורית LED באמצעות הארדואינו. אנחנו מחברים את רגל המינוס של הנורית ל-Ground, ואת רגל הפלוס – דרך נגד של 220 אום – לפין פלט דיגיטלי. למה נגד ולמה דווקא 220 אום? חוק אום הוא התשובה.

פין פלט של ארדואינו יכול לספק זרם של עד 40 מיליאמפר (אלפיות האמפר) במתח של 5 וולט. נורית LED רגילה מיועדת לעבודה בעשרים-עשרים וחמישה מיליאמפר לכל היותר במתח כזה. אין לה מספיק התנגדות משלה, כך שאם נחבר אותה ישירות לפין הפלט, הארדואינו פשוט יזרים דרכה כל מה שהוא יכול וישרוף אותה. איך מגבילים את הזרם לרמה הנכונה?

נסתכל על צורה אחרת של חוק אום, אליה מגיעים בעזרת אלגברה פשוטה:

R = V / I

במילים, ההתנגדות שווה למתח חלקי הזרם (או: התנגדות היא היחס בין המתח לזרם). המתח הרי נתון לנו, והוא 5 וולט. הזרם הרצוי הוא בסביבות 20 מיליאמפר, כלומר 0.02 אמפר. נחלק 5 ב-0.02 ונקבל 250. זו ההתנגדות שאנחנו צריכים! מסיבות שונות ומשונות קשה מאד להשיג נגד בערך 250 אום, אז אנחנו לוקחים את הערך הכי קרוב ש-DealExtreme או TaydaElectronics נותנים לנו – 220 אום. נבדוק מה נגד כזה ייתן לנו, באמצעות הצורה השלישית של אותה נוסחה:

I = V / R

הזרם במעגל הוא המתח חלקי ההתנגדות. 5 חלקי 220 זה 0.0227 בערך, כלומר 22.7 מילאמפר. מעולה! הגבלנו את הזרם לתחום הבטוח עבור נורית ה-LED, והכל סבבה.

חוק אום בפעולה: מחלק מתח

כמובן, חוק אום רלוונטי להרבה, הרבה יותר דברים מאשר ויסות זרם, ומחלק המתח הוא דוגמה מעולה לכך. מחלק המתח, למי ששכח, הוא סידור מסוים של שני נגדים, כניסת מתח,  יציאה למדידת מתח וחיבור Ground. סידור זה גורם למתח היציאה להיות שווה לחלק ממתח הכניסה. איזה חלק? את זה אנחנו קובעים באמצעות ערכי שני הנגדים, ובאמצעות שימוש חכם בחוק אום.

נסתכל על השרטוט הסכמטי:

שרטוט סכמטי של מחלק מתחבתחתית השרטוט מוצגת הנוסחה לחישוב מתח היציאה, וחוק אום הוא המפתח להבנתה ולהבנת הדרך בה הגענו אליה. נסתכל, ראשית כל, על הקו הישר שעובר בין Vin לבין Gnd, עם שני הנגדים בדרך (מחוברים בטור, כלומר האחד אחרי השני). אנחנו יכולים לקחת את הפרמטרים ובעזרת הצורה מתאימה של חוק אום (I = V / R) לחשב איזה זרם עובר בקו הזה:

I = Vin / (R1 + R2)

במילים אחרות, אם נתעלם מהיציאה Vout, יש לנו מעגל עם התנגדות ידועה (R1 + R2), מתח ידוע (Vin) ולפיכך גם זרם ידוע. הזרם, מטבעו, הוא פחות-או-יותר קבוע לאורך כל המעגל הזה: אם נספור, לצורך העניין, כמה אלקטרונים עוברים מדי שניה בכל נקודה על הקו שבין Vin ל-Gnd, נקבל את אותו מספר.

המתח, לעומת זאת, לא עובד ככה. הוא "נופל" בהדרגה על רכיבים שונים לאורך הנתיב, בהתאם לתכונות החשמליות שלהם, ויורד מערכו ההתחלתי ב-Vin עד לאפס של ה-Gnd. הפרש המתחים בין Vin לבין Gnd הוא כמובן 5V. אך מה הפרש המתחים בקטע הספציפי שבין Vout לבין קו הבסיס שלנו, ה-Gnd?

(במאמר מוסגר, חשוב מאד לציין ש-Vout כאן אינה יציאה במובן המקובל של המילה. אנחנו לא נשתמש בה בתור מקור כוח לשום דבר. למעשה, אם ננסה "לשאוב" חשמל משם למשהו, זה ישבש את כל החישובים. מבחינתנו, Vout היא פשוט נקודת מדידה לאורך הקו הראשי Vin-Gnd).

כל הנתונים הדרושים כדי לגלות את הפרש המתחים שבין Vout ל-Gnd כבר נמצאים ברשותנו. אנחנו יודעים מהו הזרם, כי את זה חישבנו קודם: Vin / (R1+R2). אנחנו יודעים גם מהי ההתנגדות – R2, הנגד היחיד שנמצא בין שתי נקודות המדידה. הנוסחה אומרת לנו ש-V שווה למכפלה של I ושל R. אם כך, המתח שבין הנקודות יהיה

R2 * Vin / (R1 + R2)

וזו, בשינויים קוסמטיים קלים, אותה נוסחה שהופיעה בשרטוט למעלה. המתח בין Vout ל-Gnd הוא חלק מ-Vin, בהתאם ליחס שבין R2 לסכום R1+R2. אם שני הנגדים יהיו בעלי ערכים שווים, היחס הנ"ל יהיה חצי, ו-Vout יהיה בדיוק חצי מ-Vin. אם לעומת זאת R1 יהיה בעל ערך גדול פי 9 מ-R2, היחס יהיה אחד לעשרה ו-Vout יהיה עשירית מ-Vin.

מחלק המתח כמד התנגדות

וכאן אנחנו חוזרים סוף כל סוף אל הרעיון המקורי של הפרויקט: שימוש במחלק מתח כדי למדוד התנגדות של נגדים. ראינו איך יחס שונה של ערכי הנגדים יוצר מתח שונה ב-Vout. מכאן נובע שאם נדע מה Vin, מה Vout ומה ערכו של אחד משני הנגדים (נניח R2), נוכל בחישוב פשוט להסיק מהמידע הזה את ערכו של הנגד השני (R1).

צד החומרה של מד האומים שלנו יהיה, לפיכך, מחלק מתח שאחד משני הנגדים שלו חסר. המשתמש יחבר שם את הנגד שהוא רוצה למדוד, הארדואינו יקלוט את Vout דרך אחד מהפינים האנלוגיים, והתוכנה תחשב מתוך ערך המדידה את ערך הנגד. פשוט למדי, בתיאוריה – עד שמגיעים לשאלה של טווח המדידה. ערכי נגדים יכולים לנוע בין עשיריות ומאיות לבין מיליוני אומים, וקשה להאמין שהרזולוציה בת 10 הביטים של הארדואינו תוכל להתמודד עם כל המתחים השונים שעשויים להתקבל.

על ההתמודדות עם הקושי הזה, ועניינים תיאורטיים נוספים שצריך לסגור לפני שבונים את מעגל מד האומים, בפוסט הבא של פרויקט זה…